1。刘某的上述做法算不算“赠予”？
刘某将其所持有的部分房产归还给你，可以有两种方式，一种为买卖，一种为赠与。你们可以选择。
2。如果去办理“赠予”公证，应当到那一级公证机关去办理较为妥当？办理时应当注意些什么事项。
哪一级都可以，把赠与的意思表达清楚。
3。如果我们办理了房产“赠予”公证，此公证有没有什么后遗症？
有风险
合同法规定：第一百八十六条　赠与人在赠与财产的权利转移之前可以撤销赠与。
　　具有救灾、扶贫等社会公益、道德义务性质的赠与合同或者经过公证的赠与合同，不适用前款规定。
　　第一百八十七条　赠与的财产依法需要办理登记等手续的，应当办理有关手续。
　　第一百九十二条　受赠人有下列情形之一的，赠与人可以撤销赠与：
　　（一）严重侵害赠与人或者赠与人的近亲属；
　　（二）对赠与人有扶养义务而不履行；
　　（三）不履行赠与合同约定的义务。
　　赠与人的撤销权，自知道或者应当知道撤销原因之日起一年内行使。

？今后，我或我的继承人要把该房产卖掉，到房地产交易中心办理交割手续时应当出示那些文件，还会遇到什么麻烦；要不要刘某或她的继承人到场出示她的身份证？
不管采取怎样的方式将房产给你，都要及时到房产管理部门申请过户，即将写有你两个人的产权证变成只写你一个人的名字的，会需要交纳一些费用。
如果不及时过户，即使你公证了，也无法对抗善意第三人，即对外人而言 ，该房产还是你们的共有房产。如果将来另一方欠别人债务，债主是可以要求用那一半房产来还的。

4。我在处理上述事情的过程中，应当注意那一些问题，敬请法律专家或网友拨冗给我比较详细的解答，谢谢！
综上，建议你以买卖的方式将那一半房产过到自己名下，如果实际上当初房子是你一个人出的费用，此次你不需要付给另一方钱，那么也要在合同上写清楚，然后及时到房产部门办理过户手续，以防后患。